2 数学竞赛的的基本内容

国际数学竞赛的开展导致了竞赛数学的诞生，竞赛开始的那些年头，其内容主要是中学教材中的代数方程、平面几何、三角函数，经过40多年的发展，已形成一个源于中学数学又高于中学数学的数学新层面，其思想方法逐渐与现代数学的潮流合拍.对1-51届IMO试题(1959-2010)的统计表明，竞赛数学正相对稳定在几个重点内容上，可以归结为四大支柱、三大热点.

四大支柱是：代数，几何，初等数论，组合初步(俗称代数题、几何题、算术题和智力题).三大热点是：组合几何、组合数论、集合分拆.

2-1 代数

代数是中学数学的主体内容，其在竞赛中占据重要地位是理所当然的，已广泛涉及恒等变形、方程、函数、多项式、不等式、数列、复数、函数方程、矩阵等方方面面.近年的重要特点是：

(1)出现集中的趋势.

统计表明，近30年来，难度较小的问题(如恒等变形、单一的解方程等)消失了，明显超出中学范围的问题(如矩阵等)也消失了，代数问题正在不等式、数列、函数方程上集中，这表明IMO代数题的命题趋向是，既在努力避开有求解程式的内容、提高试题的难度，又在尽力避免超出中学生的知识范围，而在思维的灵活性、创造性上做文章.

(2)运算与论证的综合.

中学代数偏重于运算，并且常常有程序化、机械化的优势(运算可以看成是机械化的推理).作为高层次的竞赛，停留在运算的熟练和准确上是不够的，因而IMO的代数题常以抽象论证的面目出现，并且时间也允许进行大数字、多字母、多环节的硬运算，一方面精确的演算为推理提供论据，另一方面论证推理又提出演算的需要、两者相辅相成.从理解题意开始，到运算结构的分析、运算阶段的连接，乃至整个解题程序的调控，都有运算与论证的交互推进，这构成了IMO代数题的一个发展趋势，也体现着代数思维的一般性和从过程到对象(凝聚)等特征.(预赛表明，是我们的一个弱点)

(3)与数论、组合、几何的交叉.

代数知识在各个学科中都有基础的作用，无论哪一门中学数学分支都少不了代数运算. IMO试题避开常规代数题的同时，正在加强与各个学科的综合，不等式不仅有大量的数列不等式、最优化背景不等式，而且有越来越多的几何不等式、数论不等式、组合不等式：方程知识也在数论问题、几何问题或其他离散问题中屡屡出现.

2-2 几何

欧几里得的几何虽然古老，但在提供几何直觉和理性思维方面仍有不可替代的教育价值(许多科技工作者由此而启蒙)，因而，历来受到数学竞赛的青睐，平面几何证明已经属于IMO的届届必考的内容，少则1题，多则2-3题.我国高中联赛加试(二试)和冬令营考试，也是年年必有平面几何题.

IMO中的几何问题，包括平面几何与立体几何，但以平面几何为主，立体几何题从第22届(1981)开始已经20多年没有出现了，这一方面是组合几何的涌入，另一方面是新颖的立体几何题不好找，有的过浅，有的过旧，有的过难.

(1)几何题的内容.

IMO的平面几何数量较多、难度适中、方法多样，可以分成三个层次.

第一层次，是与中学教材结合比较紧密的常规几何题，虽然也有轨迹与作图，但主要是以全等法、相似法为基础的证明，重点是与圆有关的命题，因为圆的命题知识容量大、41